A condição para que uma função seja diferenciável é que suas derivadas parciais existam.
Assim, dada a função
z = f(x; y), sua diferencial total é Exemplo 10.1.
11. Regra da Cadeia
Para as funções de mais do que uma variável, a Regra da Cadeia tem muitas versões, cada
uma delas fornecendo uma regra de diferenciação de uma função composta.
Regra da Cadeia (caso1):
de
diferenciável de
Regra da Cadeia (caso2):
Suponha que z = f(x; y) seja uma função diferenciável de x
Regra da Cadeia (Versão Geral)
: Suponha que u seja uma função diferenciável de n variáveis
com relação a
13. Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente
13.1. Derivadas Direcionais
Nesta seção introduzimos um tipo de derivadas, chamada derivadas direcional, que nos per-
mite determinar a taxa de variação de uma função de duas ou mais variáveis em qualquer
direção.
Suponha que queiramos determinar a taxa de variação de
e sentido de um vetor unitário
z no ponto (x0; y0) na direçãou = ha; bi. De.nição 13.1.1.
unitário
Quando computamos a derivada direcional de uma função de.nida por uma fórmula
geralmente usamos o seguinte teorema.
Teorema 13.1.1
direcional na direção e sentido de qualquer vetor unitário (versor)
13.2. Vetor Gradiente
No teorema 13.1 observa-se que a derivada direcional pode ser escrita como o produto escalar
de dois vetores.
De.nição 13.2.1.
vetorial
13.3. Maximizando a Derivada Direcional
Suponha uma função
direcionais de
direções possíveis. Podemos então perguntar: em qual dessas direções
qual a máxima taxa de variação? A resposta a essas perguntas é dada pelo seguinte teorema.
f de duas ou três variáveis e considere todas as possíveis derivadasf em um ponto dado. Isso nos dará a taxa de variação da função em todas asf varia mais rápido e Teorema 13.3.1.
O valor máximo da derivada direcional
direção e sentido que o vetor gradiente
Suponha que f seja uma função diferenciável de duas ou três variáveis.Duf(x) é jrf(x)j e ocorre quando u tem a mesmarf(x). Exemplo 13.3.1.
(a)
Se f(x; y) = xey, determine a taxa de variação de f no ponto P(2; 0) na direção de P e Q
2
( 1; 2). (b)
Em que direção f tem a máxima taxa de Se f é uma função de duas variáveis x e y, o gradiente de f é a funçãorf de.nida por Se f é uma função diferenciável em x e y, então f tem derivadau = ha; bi é A derivada direcional de f em (x0; y0) na direção e sentido do vetoru = ha; bi é x1;x2; : : : ; xn, onde xj é uma função diferenciável de m variáveis, então sua derivadat é t1;t2; : : : ; tm: Então u é uma função de t1;t2; : : : ; tm e e y, onde x = g(s; t) e y = h(s; t) são funções diferenciáveis de s e de t. Então Suponha que z = f(x; y) seja uma função diferenciávelx e y, onde x = g(t) e y = h(t) são funções diferenciáveis de t. Então z é uma funçãot e10. Diferencial Total de uma Função de duas ou mais Variáveis
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